Inleiding

Wij hebben bij G+ de opdracht gekregen om te kiezen tussen verschillende onderwerpen die over wiskunde gingen of er mee te maken hadden. Je kon kiezen uit verschillende wiskundige personen maar ook uit getallenstelsels enz.                                                                                                

Wij hebben het onderwerp getallenstelsels gekozen, omdat het ons het leukst leek. We hebben alle informatie met wat we gemaakt hebben op deze site gezet. Op deze site hebben we 6 verschillende getallenstelsels uitgelegd, beschreven en laten zien. Ze hebben allemaal een aparte schrijfwijze en ieder hun eigen manier van tellen.  Dit maakt het interessant om het te vergelijken en we wensen iedereen veel leesplezier.

Getallen van de Romeinen (deel 1)

Op wiskundig vlak hebben de Romeinen niet bepaald een voortrekkersrol gespeeld. Hun getallenstelsel is waarschijnlijk ontstaan als een telsysteem voor herders, die op een kerfstok bijhielden of ze wel met al hun schapen terug thuis waren gekomen. Later evolueerden de kerfstreepjes tot letters die uit het Romeinse alfabet werden overgenomen. Maar het bleef een primitief systeem. Toch wel verwonderlijk als je bedenkt welk een hoog niveau de Romeinse beschaving bereikte.

1)      Voor Romeinse getallen worden letters uit het Latijnse alfabet gebruikt. Alleen volgende letters hebben een cijferwaarde:

• I = 1
• V = 5
• X = 10
• L = 50
• C = 100
• D = 500
• M = 1000
• V.M = 5000
• X.M = 10000
• L.M = 50000

Alleen hoofdletters zijn toegestaan.

2)      In het Romeinse stelsel gingen ze op den duur niet alleen maar optellen en aftrekken, maar ook vermenigvuldigen om het makkelijker te maken. Bijvoorbeeld:V.M is vijf duizend(5 x 1000) nog een voorbeeld is het getal 5.555 dat zo wordt opgeschreven in het Romeinse stelsel:V.M DLV. 

3)     Een Romeins getal heeft als structuur een reeks waarden, elk gevormd door één of twee tekens die bij elkaar moeten worden opgeteld. Een waarde kan uit twee tekens bestaan als de eerste 'subtractief' is gebruikt. Dat wil zeggen: vóór een teken met een hogere waarde geplaatst, zodat ze van die hogere waarde dient te worden afgetrokken. Zo wordt 4 'IV' geschreven: 5-1. Tweemaal een waarde aftrekken van hogere waarde, mag niet. Op die manier zou een combinatie van drie tekens ontstaan. 'IIX' voor 8 kan dus niet; het moet 'VIII' zijn. In één getal kunnen waarden van dezelfde grootteorde ook niet tegelijk worden afgetrokken én opgeteld. Combinaties als 'IXI' (10-1+1) of 'IXV' (10-1+5) zijn dus niet toegelaten. Enkel I, X en C worden subtractief gebruikt. Er is nog een bijkomende beperking: alleen de combinaties IV, IX, XL, XC, CD en CM zijn toegelaten. 49 wordt dus niet 'IL' genoteerd maar 'XLIX'.

4)     De waarden staan in aflopende volgorde. Een bepaalde waarde wordt altijd gevolgd door een kleinere of even grote waarde. 99 is dus niet 'IXXC' maar 'XCIX'. De tekens (= letters/cijfers) V, L en D mogen slechts eenmaal in een getal voorkomen en worden ook nooit subtractief gebruikt. De notaties 'LD' voor 450, of 'VC' voor 95, zijn dus foutief. Het moet 'CDL' respectievelijk 'XCV' zijn. Alleen met de combinaties: IV, IX, XL, XC, CD en CM mag worden gerekend.

Getallen van de Romeinen (deel 2)

5)      In de oudste notaties van Romeinse getallen bestonden geen beperkingen voor de andere tekens (M, C, X, I) maar in de latere praktijk werd het aantal keren dat een zelfde teken achter elkaar werd gebruikt, beperkt tot 3. 4 werd dus oorspronkelijk 'IIII' genoteerd, maar later werd het 'IV'. Op klokken met een Romeinse wijzerplaat wordt de oude notatie overigens nog wel gebruikt. De 4 wordt als 'IIII' genoteerd en soms wordt de 9 als 'VIIII' genoteerd. De oude Romeinen gebruikte liever niet de combinatie IV voor 4 omdat dit de beginletters zijn van de Romeinse oppergod: IVPPITER. Het gebruik werd voor het laatst gebruikt enkele eeuwen geleden. 6)      De letters V, L en D komen van X, C en M door ze te verdelen in twee stukken. Het boven stuk van een X is een V, het onder stuk van een (hoekige) C is een L en het linker stuk van M is(in gesloten vorm) een D. Op sommige gebouwen in Nederland wordt het bouwjaar met verwarrende Romeinse cijfers afgebeeld. Voor de D wordt dan een I en een omgedraaide C gebruikt, voor de M een C, een I en een omgedraaide C. 1600 is dan CI)I)C. Zeker waar het grotere getallen betrof bestonden er nogal wat afwijkende schrijfwijzen. Vier voorbeelden om dat te illustreren: De eerste is een alternatieve schrijfwijze voor 1.000 (duizend), de tweede voor 5.000. De schrijfwijze voor 1.000 is eigenlijk een stilering van een cirkel (= twee gespiegelde C's) met een verticale streep in het midden. Twee concentrische cirkels stonden dan voor 10.000 en drie voor 100.000. (Theoretisch kun je zo nog grotere veelvouden van 1.000 weergeven. Maar in de praktijk gebeurde dat niet omdat de getalwaarde van een dergelijke notering niet goed meer in één oogopslag te lezen is.) Halve cirkels (meer bepaald de rechterkant = een I met rechts daarvan één of meer C's in spiegelschrift) geven aan dat je het zo bekomen getal door twee moet delen. (Zo kun je ook de 'D' voor 500 beschouwen als een halve duizend in deze notering.) Het derde en het vierde getal hierboven stellen respectievelijk 12.000 en 30.000.000 voor. Het horizontale streepje geeft aan dat je het getal eronder met 1.000 moet vermenigvuldigen. Staat het getal in een niet gesloten rechthoek, dan moet je het met 100.000 vermenigvuldigen. Zelfs combinaties waren mogelijk: als je het 3de getal hierboven vlak achter het 4de zou schrijven, krijg je de Romeinse notering voor 30.012.000. Dat een dergelijke schrijfwijze verwarring kan scheppen en aanleiding kan geven tot interpretatiefouten, spreekt vanzelf. Zo zou keizer Tiberius aan de latere keizer Galba ooit 500.000 in plaats van 50.000.000 sestertiën hebben uitbetaald omdat het bedrag in het legaat was aangeduid als De streepjes aan de zijkanten waren zo kort dat Tiberius ze niet als verticale lijnen wilde zien, maar als begin- en eindpunt van de horizontale streep. Nadelen: -          Het is heel onhandig, want je moet weten wanneer je moet aftrekken, optellen of zelf vermenigvuldigen. -          Er zijn veel regels dat je sommige combinaties niet mag gebruiken, dus je moet het soms heel moeilijk doen. -          Wat je zoals hierboven zag: Tiberius maakte ook een fout omdat het niet duidelijk was geschreven en er waren nog meer onduidelijkheden zoals dat sommigen de cijfers anders schreven. -          Ze hadden maar 7 verschillende cijfers en daarmee moest je combineren en dat was dus niet zo makkelijk. Voordelen: -          Ze gingen op den duur ook vermenigvuldigen en dat was wel handig, want dan konden ze grotere getallen vormen. -          Het was makkelijk te schrijven, want het waren alleen maar rechte strepen en geen bogen.

Bronnen:

http://intranet.grundel.nl/Grassroots/wiskunde/Wonderen/Getallenstelsels%20sjoerd%20deijs.htm 

 http://home.scarlet.be/~ping0803/RomGetal/info.htm

http://www.tuxx.nl/romeinse_cijfers/

Getallen van de Hebreeërs

Het Hebreeuws heeft geen nul in het getallensysteem. Elk cijfer, tiental en honderdtal heeft zijn eigen teken. Dit getallen stelsel wordt uitgebreid gebruikt door Joodse Numerologie. Dit systeem wordt ook alleen maar gebruikt in het oudere Hebreeuws.

Voor de cijfers tussen de tientallen en honderdtallen, worden de getallen bij elkaar opgeteld. Bijvoorbeeld voor het getal 157. Je neemt dan het getal 100, 50 en 7, wat dus 100+50+7=157 wordt. Maar bij de kleinere getallen, bijvoorbeeld 15 of 16, worden niet bij elkaar opgeteld als 10+5 of 10+6. Ze worden opgeschreven als 9+6=15àטו  of 9+7=16àטז .                                                                             Om getallen boven de 500 te schrijven, gebruiken ze meestal het getal Taw(400) in combinatie met zichzelf en/of andere getallen. Duizendtallen worden ook weer apart opgeschreven, maar ze worden niet aangegeven met tekens die aangeven dat het getal begint met een duizendtal. Hiervoor gebruiken ze dus het cijfer Taw. Bijvoorbeeld voor het getal 5764: Je krgijt dan 5 x 1000 + 400 + 300 + 60 + 4. Maar om het getal 1000 te krijgen moet je bijvoorbeeld ook nog 400 x 2 + 200 doen. Je krijgt dus een lange som.

Wat zijn nou de voordelen van dit stelsel?

-          Voor kleinere getallen hoef je maar 2 of 3 getallen bij elkaar optellen en is het dus nog vrij simpel.

Wat zijn nou de nadelen van dit stelsel?

-          Als je dus getallen boven de 1000 nodig hebt, wordt het een hele grote som. Dit kan het ingewikkeld maken om het op te schrijven in het Hebreeuws.

-          Om de getallen op te lezen in het Hebreeuw moet je wel veel uitspreken omdat de standaard getallen, die in de tabel staan, een lange naam hebben.

-          Eenheden, tientallen en honderdtallen hebben elk hun eigen teken, dat is lastiger voor het opschrijven van hogere getallen.

Bron: http://nl.wikipedia.org/wiki/Hebreeuwse_cijfers

Getallen van de Chinezen en Japanners

De Japanners hebben meer dan duizend jaar geleden hun eigen systeem afgezworen en hebben het Chinees systeem overgenomen. Tot en met honderd (hyaku) is de schrijfwijze gelijk, alleen de uitspraak (en daardoor ook de fonetische weergave) is verschillend. Chinezen en Japanners hebben in hun getallenstelsel tekens voor 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100, 1000, 10.000, en 100.000.000.

Het gebruik

De andere getallen vormen ze door getallen te combineren. Bijvoorbeeld 11 = 10 (+) 1. Ze spreken het op die manier uit en zo schrijven ze het ook. Ook tientallen doen ze op bijna dezelfde manier. 50 is bijvoorbeeld 5 (x) 10. Voor 99 combineer je beide methodes en krijg je: 9 (x) 10 (+) 9. De schrijfwijze van de voorbeelden die ik net liet zien staan in de tabel hieronder.

Voordelen en nadelen

Een nadeel aan deze getallenstelsels is de schrijfwijze. De tekens zijn vaak al moeilijk genoeg en als je dan ook hele grote getallen moet maken ben je lang bezig. Een voorbeeld van een lange schrijfwijze is bijvoorbeeld het getal hieronder: 77.777.

Een voordeel van deze getallenstelsel kon ik moeilijk vinden. Misschien stimuleert het het gevoel van een eigen cultuur, omdat deze schrijfwijze nergens identiek is. Ook is de schrijfwijze mooier en vloeiender dan andere getallenstelsels.

http://www.bellaonline.com/articles/art30635.asp
http://www.sf.airnet.ne.jp/~ts/language/number/japanese.html
http://www.japanvisitor.com/index.php?cID=369&pID=1097
http://www.learn-japanese-kanji-hiragana-katakana.com/Learn_To_Write_Japanese_3.html

 

Getallen van de babyloniërs

Babylonische cijfers

Het Babylonische getallensysteem is ontstaan in Babylonië, dat lag op de plek waar nu ongeveer Irak ligt. Het is opgebouwd uit spijkers en een soort haken. Het is dus geschreven in spijkerschrift. Het is opgebouwd in het zestigtalligstelsel, dat wil zeggen dat ze zestig als grondgetal gebruikten. Bij ons is het grondgetal 10, dat wil zeggen dat we 1, 10, 100, 1000 hebben. De Babyloniërs hadden dus 60, 3600, etc. Ons tijdsysteem is ook een zestigtalligstelsel . 1 uur heeft 60 minuten en 1 minuut heeft 60 seconden. Ook heeft een cirkel 360 graden, wat weer 6 x 60 is. Dit alles hebben wij overgenomen van de Babyloniërs.

Het getal één werd geschreven met een spijker. Het getal twee werd dan 2 spijkers naast elkaar. Tien is een haak, twintig is 2 haken.

2 spijkers naast elkaar kan dus ook 61 zijn, maar 2 kan ook.

De nadelen zijn:

-          Het is vaak verwarrend welk getal er nou bedoeld wordt.

-          De waardes van de getallen kon je uit de context opmaken, waardoor je altijd alles moest lezen als je er iets van wilde begrijpen.

-          Het had geen teken voor de nul.

De voordelen zijn:

-          Het is makkelijk te schrijven in klei of op rotsen als je geen pen en papier hebt.

-          Het zijn maar 2 verschillende soorten tekens.

Bronnen:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Babylonische_cijfers

Getallen van de oude Egyptenaren

Het Egyptische getallensysteem is ontstaan in het oude Egypte. Het zag er zo uit:




Dit is 1

 


Dit is 10

 


Dit is 100

 




Dit is 10.000





Dit is 100.000



Dit is ook 100.000



Dit is 1 miljoen of oneindig



Alles werd gewoon achter elkaar geplakt, dus bijv. 7 ziet uit als 7 streepjes, en 213.267 ziet er zo uit:

De voordelen zijn:

-          Het is makkelijk te leren en te begrijpen.

-          Omdat je alles gewoon achter elkaar plakt, is het ook niet moeilijk om te lezen.

De nadelen zijn:

-          Bij grote getallen heb je heel veel tekens nodig, zoals te zien is bij 9.999.999. Daardoor is er heel veel ruimte nodig om getallen op te schrijven.

-          Het is lastig om op te schrijven, zeker is lastig te schrijven als je een getal moet noteren.

Bronnen:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Egyptische_cijfers
http://users.belgacom.net/suikerbossie/pagina4.htm